التمرين 1
في المثلث $BFD$ نعتبر $BC$ ارتفاع و $[DF]$ قاعدة. وبالتالي مساحة المثلث $BFD$ هي: $\frac{BC.DF}{2}$.
في المثلث $BED$ نعتبر $BA$ ارتفاع و $[DE]$ قاعدة. وبالتالي مساحة المثلث $BED$ هي: $\frac{BA.DE}{2}$.
لدينا: $(EF)∕∕(AC)$. إذن $\frac{DE}{DA}=\frac{DF}{DC}$ أي
$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{AB}$.
وبالتالي $AB.DE=BC.DF$.
خلاصة: للمثلثين نفس المساحة.
|
التمرين 2
- $12^{*}=18 $.
- $24^{***}= 36^{**} = 54^{*} = 81 $.
- $\quad x^{*}=x+\frac{x}{2} = \frac{3x}{2} $ و
$\quad x^{**}=\frac{3x}{2} + \frac{1}{2} (\frac{3x}{2})= \frac{9x}{4}$ و
$\quad x^{***}=\frac{9x}{4} + \frac{1}{2} (\frac{9x}{4})= \frac{27x}{8}$ و
$\quad x^{****} = \frac{81x}{16}$ وبالتالي $\quad x^{**}=162 \quad$ تكافئ $\quad 162 = \frac{81x}{16}$ . أي $x=32\quad$.
|
التمرين 3
لدينا:
$\quad 2\widehat{UTO} = \widehat{UAO} \quad $ و
$\quad 2\widehat{RIU} = \widehat{RAU} \quad $ و
$\quad 2\widehat{TOR} = \widehat{TAR} \quad $ و
$\quad 2\widehat{IUT} = \widehat{IAT} \quad $ و
$ 2\widehat{ORI} = \widehat{OAI} \quad $.
.
ونعلم أن: $\widehat{UA0} + \widehat{RAU} + \widehat{TAR} + \widehat{IAT} + \widehat{OAI} = 360° \quad \quad $.
خلاصة: $ \widehat{UTO} + \widehat{RIU} + \widehat{TOR} + \widehat{IUT} + \widehat{ORI} =180° \quad \quad $.
|
التمرين 4
يقترح التمرين كيفية إيجاد الأعداد الطبيعية $x$ و $y$ التي تحقق المتساوية:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$.
- العددان: $x= 6$ و $y=12$ يحققان هذه المتساوية، لأن:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
- نعتبر $y=6$. لاحظ أن: $x \ne 0$. ولدينا:
$\quad \frac{1}{x} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \quad$
تكافئ
$ 4(x+12)=12x $
وهي تكافئ
$ \frac{1}{x} = - \frac{1}{6} + \frac{1}{4} =\frac{1}{12} $.
وبالتالي: $x=12 $.
- لاحظ أن $x \ne 0$ و $y \ne 0$.
أ.$\quad$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$ تكافئ $\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{4}$.
وبالتالي: $4(x+y)=xy$.
و$4(x+y)=xy$
تكافئ
$xy-4x-4y=0$
وهي تكافئ
$x(y-4)-4y=0$
وهي تكافئ
$x(y-4)-4(y-4)=16$.
أي: $(x-4)(y-4)=16$.
ب.$\quad$ من خلال ما سبق حلول المعادلة $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$
هي حلول للمعادلة $(x-4)(y-4)=16$.
ولذلك نحل المعادلة $(x-4)(y-4)=16$
ونأخذ من حلولها حلول المعادلة $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$.
حلول المعادلة $(x-4)(y-4)=16$ تعتمد على قواسم العدد $16$ وهي $16$ و$8$ و$4$ و$2$ و$1$.
من أجل ذلك نعتبر النظمات $(a)$ و$(b)$ و$(c)$:
$ (a)\left\{ \matrix { x-4=16 \cr y-4=1 \cr} \right. $
و$ (b)\left\{ \matrix { x-4=8 \cr y-4=2\cr } \right. $
و$ (c) \left\{ \matrix { x-4=4 \cr y-4=4 \cr } \right. $.
التي حلولها على التوالي هي:
$(x=20; y=5)$ ؛ $(x=12; y=6)$ ؛ $(x=8; y=8)$ .
خلاصة: حلول المعادلة $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$
هي:
$(x=20; y=5)$ و $(x=5; y=20)$ و $(x=12; y=6)$ و $(x=6; y=12)$ و $(x=8; y=8)$.
|
|
|